Momento angular de un sólido rígido

Consideremos un sólido de forma arbitraria que rota con velocidad angular ω con respecto a un eje Z que, para simplificar, consideraremos fijo con respecto a un sistema de referencia inercial, tal y como se muestra en la siguiente figura:

Cada partícula del sólido describe un movimiento circular con velocidad angular ω y su momento angular calculado con respecto al origen O viene dado por:

El momento angular del sólido con respecto a O es simplemente el momento angular de un sistema de partículas, es decir, la suma de los momentos angulares de todas las partículas del sistema.

Como veremos a continuación, es más interesante calcular la proyección del momento angular de la partícula sobre el eje de giro, que viene dada por:

De las figuras anteriores se deduce que el radio de giro (R_i) de la partícula i-ésima del sólido y la velocidad lineal de dicha partícula son respectivamente:

Sustituyendo en la ecuación anterior, la proyección del momento angular de la partícula i-ésima sobre el eje de giro queda:

La proyección del momento angular del sólido rígido sobre el eje de giro L_z será la suma de las proyecciones de todas las partículas del sólido sobre dicho eje:

El sumatorio que aparece en la ecuación anterior es el momento de inercia I del sólido con respecto al eje de giro. Veremos su significado físico cuando obtengamos la ecuación del movimiento de rotación de un sólido. Sus unidades en el Sistema Internacional son kg m², y se define:

Finalmente, la proyección del vector momento angular del sólido es:

En general, el vector momento angular de un sólido con respecto a un determinado eje de giro no tiene por qué ser paralelo a este último, por lo que la proyección de L sobre el eje no coincide con su módulo.

A la izquierda se ha representado el momento angular total de un sólido con respecto a un eje de giro Z. La dirección del momento angular no coincide con la del eje. A la derecha, se ha representado una situación hipotética en la que el vector L estaría alineado con el eje de giro Z'.

Sin embargo, para cualquier sólido existen al menos tres ejes (denominados ejes principales de inercia) tales que, si el sólido rota con respecto a alguno de ellos, el vector momento angular es paralelo al eje y, por tanto la proyección de L sobre el eje coincide con su módulo (ver figura anterior). Cuando el sólido tiene algún eje de simetría, los ejes principales de inercia coinciden con estos últimos.

Cuando un sólido rota con respecto a uno de sus ejes principales de inercia, el vector momento angular del sólido viene dado por:

A partir de esta ecuación deduciremos la ecuación del movimiento de rotación de un sólido rígido con respecto a uno de sus ejes principales de inercia.